samedi 16 juillet 2016

Au commencement ...


Au commencement était la droite.
Au commencement ... Mais peut-on alors seulement parler de commencement ? La droite existe en dehors de tout cadre, et n'a pour particularité que d'aller nulle part tout en ayant toujours été, de parcourir un infini sans avoir exploré la moindre fraction de l'univers. 

C'est en général lors du premier chapitre du collège qu'on la rencontre. Auparavant, on la confondait avec l'idée de trait droit, tracé à la règle, mais c'est débarrassé de sa gangue réaliste qu'elle devient belle. C'est aussi le premier obstacle de perception de l'univers mathématique. Je dessine une droite, mais puisque le dessin de pipe n'est pas une pipe, je n'en représente qu'une infime partie imprécise. Il faudrait y voir le reste et c'est dans ce reste que se cache la magie. Ce premier objet parfait, parfaitement rectiligne, sans limite mais sans épaisseur, qui est-il, où vit-il, existe-t-il d'ailleurs ou n'est-il qu'une représentation idéale d'objets boiteux ?
Est-il, lui, parfait lorsque la réalité est insuffisante, ou au contraire n'est-il qu'ébauche d'un monde réel infiniment plus complexe ?


On aurait tort de s'enfermer dans une de ces visions de la droite. La concevoir comme réelle est déjà une porte ouverte vers le monde des idées mathématiques, et cela ne lui ôte pas son efficacité comme outil géométrique, logique, technique, ...
Et là est toute la beauté des mathématiques. Dans la droite,

dans cet objet bête et commun présenté en dix minutes dans un tableau dont le temps passé, élève, à tracer à la règle, tirant la langue et laissant bien deux carreaux de marge mais sans être trop sûr que le professeur ait demandé de dessiner des cases de quatre ou cinq lignes de hauteur, nous détourne l'intelligence,

dans cet objet bête et commun qui semble aller de soi aux yeux de tout le monde, mais qui se nimbe à nouveau de mystère lorsque l'on s'éloigne des géométries euclidiennes pour en découvrir de nouvelles aux détours d'un programme de prépa MP ou d'un vieux livre de Michèle Audin,

dans cet objet bête et commun que l'on croyait avoir compris jusqu'à le voir déconstruit et redéfini en termes de géométrie affine ou vectorielle, nu, dépossédé de son cadre visuel pour ne devenir rien de plus qu'ensemble de dimension 1, ce qui semble appauvrissement jusqu'à l'apparition à l'horizon, dans un mirage tel Omar Sharif dans Lawrence d'Arabie, des droites non géométriques, ensembles non plus de points mais de nombres, de polynômes ... 

Saurait-on alors apprécier à sa juste valeur les différentes relations entre droites alors même qu'il est si difficile de les comprendre elles-mêmes ? Comprendre le parallélisme, c'est tenter de comprendre une discussion entre deux individus ; en connaître la langue est un début, mais que saisirons-nous de leurs échanges sans rien savoir de leurs histoires propres ou de leur histoire commune ?
Le parallélisme, notion considérée comme évidente dans l'enseignement de collège, demande de savoir prolonger "indéfiniment" ou "infiniment" chacune des droites, suivant les professeurs. Infiniment ? Mais de quel infini parle-t-ton ? Celui, vu comme imparfait par Aristote et auquel nous ne saurions nous référer, ou celui divin des philosophes et mathématiciens médiévaux ? Nous préfèrerions bien sûr nous référer à une définition topologique, légèrement hors sujet en sixième, donc nous nous contenterons du terme "indéfiniment" qui suppose que l'on peut prolonger autant qu'on le souhaite, or qui souhaite s'amuser à passer l'éternité à prolonger deux droites ? Qui le peut ?
Pas si simple à piger finalement ... 

Quel joyeux foutoir !

Et pourtant nous dirons des élèves qui ne s'y retrouvent pas, trop fins et rigoureux pour se satisfaire d'un dessin de schtroumpf à lunettes tenant une équerre à la main dans le manuel, qu'ils "ont du mal à franchir le cap des concepts" et de ceux qui auront bien appris leur cours et accepteront gentiment ce que dit monsieur le professeur qui est si gentil, laissant de côté ce qui ne rentre pas dans les cases, qu'ils "ont su s'adapter aux nouvelles exigences théoriques".

Quel dommage.

Plus tard sera défini le point comme intersection de deux droites. Celui-là récupèrera donc plusieurs caractéristiques des droites, notamment son infini petitesse. Que l'existence d'un objet infiniment petit soulève évidemment tant de questions qu'il faudrait être abruti pour ne pas se poser n'inquiète aucunement le gentil professeur (moi y compris) qui, bloqué par sa déprimante incompétence, ne parvient pas à faire passer toute sa passion pour ce simple objet sur lequel il pourrait créer des heures de séances de construction à la règle seule et se conforme donc aux exigences si limitées du programme officiel qui laissent tant de beaux esprits fertiles en friche ...

Pourtant quel bel objet que ce point également ... Construisons un point sur une droite et nous créons une demi-droite, ajoutons-en un autre et nous avons un segment, segment qui peut nous servir de repère, d'"unité", notons un 0 à une extrémité et un 1 à l'autre, en la reportant, ou la divisant (Nous le pourrons très vite), nous pouvons y placer une graduation aussi fine que besoin et nous créons une règle infiniment précise qui induira la construction de tous les nombres décimaux ...

Enseigner ce qui nous passionne, c'est aussi cela. C'est avoir une énorme carte du monde en tête, aider les élèves à se fabriquer une hache, couper du bois, construire des bateaux pour aller explorer cet univers onirique, ou bien construire des maisons, des états, des cultures, toute une diplomatie et toute une géopolitique pacifique. C'est évidemment voué à l'échec. Ce n'est pas une raison pour ne pas essayer.

Recréer l'univers ou les outils pour l'explorer. Tout recréer à partir de presque rien. 

Ici, ce presque, c'est la droite.
La droite et l'esprit humain, qui, contre toute attente, peut parfois créer du beau.